6. Решите уравнение \( \sqrt{2x + 3} = 6 - x \)

Решение:

Сначала определим ОДЗ для квадратного корня:

\( 2x + 3 \ge 0 \)
\( 2x \ge -3 \)
\( x \ge -1.5 \)

Также, так как левая часть уравнения (квадратный корень) неотрицательна, то и правая часть должна быть неотрицательной:

\( 6 - x \ge 0 \)
\( 6 \ge x \)

Итак, \( -1.5 \le x \le 6 \).

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\( (\sqrt{2x + 3})^2 = (6 - x)^2 \)
\( 2x + 3 = 36 - 12x + x^2 \)

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( x^2 - 12x - 2x + 36 - 3 = 0 \)
\( x^2 - 14x + 33 = 0 \)

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 33 = 196 - 132 = 64 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{64} = 8 \)

Найдем корни:

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + 8}{2} = \frac{22}{2} = 11 \)

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - 8}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)

Теперь проверим полученные корни на соответствие ОДЗ \( -1.5 \le x \le 6 \).

Корень \( x_1 = 11 \) не удовлетворяет условию \( x \le 6 \).

Корень \( x_2 = 3 \) удовлетворяет условию \( -1.5 \le 3 \le 6 \).

Проверим корень \( x = 3 \) в исходном уравнении:

\( \sqrt{2(3) + 3} = 6 - 3 \)
\( \sqrt{6 + 3} = 3 \)
\( \sqrt{9} = 3 \)
\( 3 = 3 \) (Верно)

Ответ: \( 3 \).