6. Решите уравнение $$\sqrt{2x + 3} = 6-x$$.

Решение:

Для решения уравнения возведём обе части в квадрат:

\[ (\sqrt{2x + 3})^2 = (6-x)^2 \]

\[ 2x + 3 = 36 - 12x + x^2 \]

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2 - 12x - 2x + 36 - 3 = 0 \]

\[ x^2 - 14x + 33 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 33 = 196 - 132 = 64 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{64} = 8 \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-(-14) + 8}{2 \cdot 1} = \frac{14 + 8}{2} = \frac{22}{2} = 11 \]

\[ x_2 = \frac{-(-14) - 8}{2 \cdot 1} = \frac{14 - 8}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

Теперь необходимо проверить полученные корни на соответствие условию \( 6-x \ge 0 \) (так как корень квадратный из неотрицательного числа не может быть отрицательным):

• Для \( x_1 = 11 \): \( 6 - 11 = -5 \). Это значение отрицательное, поэтому \( x_1 = 11 \) не является корнем уравнения.
• Для \( x_2 = 3 \): \( 6 - 3 = 3 \). Это значение положительное. Проверим подстановкой в исходное уравнение: \( \sqrt{2 \cdot 3 + 3} = \sqrt{6+3} = \sqrt{9} = 3 \). Левая часть равна правой (3 = 3).

Ответ: 3