10. В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, BM — биссектриса (M лежит на AC). Докажи, что BM — медиана и высота треугольника ABC.

Рассмотрим треугольники ABM и CBM. Стороны \(AB=BC\) по условию, сторона \(BM\) общая, а \(\angle ABM=\angle MBC\), поскольку BM — биссектриса. Следовательно, \(\triangle ABM=\triangle CBM\) по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства треугольников следует, что \(AM=MC\), значит, BM — медиана. Также \(\angle AMB=\angle BMC\). Так как точки A, M и C лежат на одной прямой, эти углы смежные; равные смежные углы по \(90^\circ\). Поэтому \(BM\perp AC\), и BM — высота.

Следовательно, BM одновременно является медианой и высотой треугольника ABC.