10. В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, AB = 36, sin A = 5/6. Найдите длину отрезка AH.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC (угол C = 90°), синус угла A равен отношению противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB).

Формула: $$sin A = \frac{BC}{AB}$$

1. Подставим известные значения: $$\frac{5}{6} = \frac{BC}{36}$$
2. Чтобы найти BC, умножим обе стороны уравнения на 36:
3. $$BC = \frac{5}{6} \times 36$$
4. $$BC = 5 \times 6$$
5. $$BC = 30$$
6. Теперь, когда мы знаем BC, мы можем найти AC, используя теорему Пифагора: $$AC^2 + BC^2 = AB^2$$
7. $$AC^2 + 30^2 = 36^2$$
8. $$AC^2 + 900 = 1296$$
9. $$AC^2 = 1296 - 900$$
10. $$AC^2 = 396$$
11. $$AC = \sqrt{396} = \sqrt{36 \times 11} = 6\sqrt{11}$$
12. В прямоугольном треугольнике ABC, высота CH делит гипотенузу AB на отрезки AH и HB.
13. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. Угол CAH = угол A.
14. $$cos A = \frac{AC}{AB}$$
15. $$cos A = \frac{6\sqrt{11}}{36} = \frac{\sqrt{11}}{6}$$
16. Теперь в прямоугольном треугольнике ACH:
17. $$cos A = \frac{AH}{AC}$$
18. $$\,\frac{\sqrt{11}}{6} = \frac{AH}{6\sqrt{11}}$$
19. $$AH = \frac{\sqrt{11}}{6} \times 6\sqrt{11}$$
20. $$AH = \sqrt{11} \times \sqrt{11}$$
21. $$AH = 11$$

Ответ: 11