7. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 18, tg A = √7/3. Найдите длину стороны AC.

Решение:

Так как AC = BC, треугольник ABC является равнобедренным. Углы при основании равны, то есть угол A = угол B.

В прямоугольном треугольнике, тангенс угла A определяется как отношение противолежащего катета (BC) к прилежащему катету (AC), если бы угол C был 90°. Однако, нам не дано, что угол C прямой. Но мы можем воспользоваться тем, что tg A = √7/3.

Из условия AC = BC, мы знаем, что углы A и B равны. Если мы опустим высоту из C на AB, она разделит AB пополам, так как треугольник равнобедренный. Пусть эта высота будет CH.

В прямоугольном треугольнике ACH:

1. $$tg A = \frac{CH}{AH}$$
2. $$AH = \frac{AB}{2} = \frac{18}{2} = 9$$
3. Подставим значения: $$\frac{\sqrt{7}}{3} = \frac{CH}{9}$$
4. $$CH = \frac{\sqrt{7}}{3} \times 9 = 3\sqrt{7}$$
5. Теперь найдем AC, используя теорему Пифагора в треугольнике ACH:
6. $$AC^2 = AH^2 + CH^2$$
7. $$AC^2 = 9^2 + (3\sqrt{7})^2$$
8. $$AC^2 = 81 + (9 \times 7)$$
9. $$AC^2 = 81 + 63$$
10. $$AC^2 = 144$$
11. $$AC = \sqrt{144}$$
12. $$AC = 12$$

Ответ: 12