11. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 27, sin A = 2√2/3. Найдите длину стороны AC.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC (угол C = 90°), синус угла A равен отношению противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB).

Формула: $$sin A = \frac{BC}{AB}$$

1. Подставим известные значения: $$\frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{BC}{27}$$
2. Чтобы найти BC, умножим обе стороны уравнения на 27:
3. $$BC = \frac{2\sqrt{2}}{3} \times 27$$
4. $$BC = 2\sqrt{2} \times 9$$
5. $$BC = 18\sqrt{2}$$
6. Теперь, когда мы знаем BC, мы можем найти AC, используя теорему Пифагора: $$AC^2 + BC^2 = AB^2$$
7. $$AC^2 + (18\sqrt{2})^2 = 27^2$$
8. $$AC^2 + (324 \times 2) = 729$$
9. $$AC^2 + 648 = 729$$
10. $$AC^2 = 729 - 648$$
11. $$AC^2 = 81$$
12. $$AC = \sqrt{81}$$
13. $$AC = 9$$

Ответ: 9