№10. Вычислите площадь трапеции ABCD с основаниями AD и BC, если BC = 13 см, AD = 27 см, CD = 10 см, ∠D = 30°.

Решение:

Площадь трапеции вычисляется по формуле: \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \), где \( a \) и \( b \) — основания, \( h \) — высота.

Дано:

• Основания: \( BC = 13 \) см, \( AD = 27 \) см.
• Боковая сторона: \( CD = 10 \) см.
• Угол при основании \( D = 30^{\circ} \).

Чтобы найти высоту \( h \), проведём из вершины \( C \) перпендикуляр к основанию \( AD \). Обозначим точку пересечения \( H \). Тогда \( CH \) — высота трапеции.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle CDH \). Угол \( D = 30^{\circ} \), гипотенуза \( CD = 10 \) см.

Высота \( h = CH \) является катетом, противолежащим углу \( D \).

Используем свойство синуса в прямоугольном треугольнике:

\( \sin D = \frac{CH}{CD} \)
\( \sin 30^{\circ} = \frac{h}{10} \)
\( \frac{1}{2} = \frac{h}{10} \)
\( h = 10 \times \frac{1}{2} = 5 \) см.

Теперь вычислим площадь трапеции:

\( S = \frac{BC + AD}{2} \cdot h \)
\( S = \frac{13 + 27}{2} \cdot 5 \)
\( S = \frac{40}{2} \cdot 5 \)
\( S = 20 \cdot 5 \)
\( S = 100 \) см².

Ответ: 100 см²