10. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 2х-5y= 9 и 4x+2y=6 и которая параллельна прямой, проходящей через точки А(4;2) и В(-4;0).

Решение:

Шаг 1: Найдем точку пересечения прямых \( 2x-5y=9 \) и \( 4x+2y=6 \).

Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при \( x \) были одинаковыми:

\( 2(2x - 5y) = 2(9) \) => \( 4x - 10y = 18 \)

Теперь вычтем из этого уравнения второе уравнение \( 4x+2y=6 \):

\( (4x - 10y) - (4x + 2y) = 18 - 6 \)

\( 4x - 10y - 4x - 2y = 12 \)

\( -12y = 12 \)

\( y = -1 \)

Подставим \( y = -1 \) в уравнение \( 2x - 5y = 9 \):

\( 2x - 5(-1) = 9 \)

\( 2x + 5 = 9 \)

\( 2x = 4 \)

\( x = 2 \)

Точка пересечения прямых: \( (2; -1) \).

Шаг 2: Найдем угловой коэффициент прямой, проходящей через точки А(4;2) и В(-4;0).

Угловой коэффициент \( k \) находится по формуле: \( k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \).

\( k = \frac{0 - 2}{-4 - 4} = \frac{-2}{-8} = \frac{1}{4} \)

Шаг 3: Запишем уравнение прямой, проходящей через точку \( (2; -1) \) с угловым коэффициентом \( k = \frac{1}{4} \).

Используем формулу уравнения прямой, проходящей через точку \( (x_0; y_0) \) с угловым коэффициентом \( k \): \( y - y_0 = k(x - x_0) \).

\( y - (-1) = \frac{1}{4}(x - 2) \)

\( y + 1 = \frac{1}{4}x - \frac{2}{4} \)

\( y + 1 = \frac{1}{4}x - \frac{1}{2} \)

\( y = \frac{1}{4}x - \frac{1}{2} - 1 \)

\( y = \frac{1}{4}x - \frac{3}{2} \)

Ответ: \( y = \frac{1}{4}x - \frac{3}{2} \).