8. За 2ч по течению реки и 3ч против течения моторная лодка прошла 42 км. А за 2 ч против течения и 3ч по течению -48км. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки.

Решение:

Пусть \( x \) — собственная скорость лодки (км/ч), а \( y \) — скорость течения реки (км/ч).

Скорость лодки по течению: \( x + y \) км/ч.

Скорость лодки против течения: \( x - y \) км/ч.

Составим систему уравнений на основе условий задачи:

1. За 2 часа по течению и 3 часа против течения лодка прошла 42 км:

\( 2(x + y) + 3(x - y) = 42 \)

Упростим: \( 2x + 2y + 3x - 3y = 42 \) => \( 5x - y = 42 \) (Уравнение 1)

2. За 2 часа против течения и 3 часа по течению лодка прошла 48 км:

\( 3(x + y) + 2(x - y) = 48 \)

Упростим: \( 3x + 3y + 2x - 2y = 48 \) => \( 5x + y = 48 \) (Уравнение 2)

Теперь решим систему уравнений:

\( \begin{cases} 5x - y = 42 \tag{1} \ 5x + y = 48 \tag{2} \\nolimits\text{Сложим уравнения (1) и (2):}\\( (5x - y) + (5x + y) = 42 + 48 \\ 10x = 90 \\ x = 9 \tag{3}\\nolimits\text{Подставим \( x=9 \) в уравнение (2):}\\( 5(9) + y = 48 \\ 45 + y = 48 \\ y = 48 - 45 \\ y = 3 \tag{4}\\\end{cases} \)

Собственная скорость лодки \( x = 9 \) км/ч, скорость течения реки \( y = 3 \) км/ч.

Ответ: Собственная скорость лодки — 9 км/ч, скорость течения реки — 3 км/ч.