100. Кусок проволоки длиной a нужно разрезать на две части; из одной сделать квадрат, из другой — правильный треугольник. Как нужно разрезать проволоку, чтобы сумма площадей полученных таким образом фигур была наименьшей?

Пусть на квадрат пойдёт часть длины u, а на равносторонний треугольник — a − u. Тогда стороны равны u/4 и (a − u)/3, поэтому сумма площадей равна S(u) = u²/16 + √3(a − u)²/36.

Дифференцируем и приравниваем производную к нулю: S′(u) = u/8 − √3(a − u)/18 = 0. Отсюда u = 4√3a/(9 + 4√3). Поскольку коэффициент при u² положителен, это минимум.

Ответ: квадрату отрезать 4√3a/(9 + 4√3), треугольнику — 9a/(9 + 4√3).