105. Функция φ(x) задана так: φ(x) = 1/2 x − 1/2 при −∞ < x ≤ 11/3; φ(x) = 1 + x при 11/3 ≤ x < +∞. Найти аналитически и графически все действительные корни уравнения [φ(x)]² = 7x + 25.

Формулы на промежутке пересечения совпадают: при x = 11/3 первая даёт 4/3, а вторая — 14/3. Чтобы область определения функции была однозначной, следует уточнить, какая формула действует в точке 11/3. Корней в этой точке нет, поэтому неоднозначность на ответ не влияет.

Для первой ветви решаем ((x − 1)/2)² = 7x + 25: получаем x² − 30x − 99 = 0, откуда x = 33 или x = −3. Условию первой ветви x ≤ 11/3 подходит только −3.

Для второй ветви (x + 1)² = 7x + 25, то есть x² − 5x − 24 = 0. Получаем x = 8 и x = −3; условию второй ветви x ≥ 11/3 подходит только 8. Графически это абсциссы пересечений графиков y = [φ(x)]² и y = 7x + 25 на соответствующих ветвях.

Ответ: −3 и 8.