101. Вычислите: \(\frac{27^3\cdot9^5}{81^3\cdot3^6}+\frac{6^{10}\cdot9^5}{3^{22}\cdot243^4}+\frac{20^4}{8^2\cdot25^2}\).

Представим основания в виде степеней простых чисел:

\(\frac{(3^3)^3(3^2)^5}{(3^4)^3 3^6}+\frac{(2\cdot3)^{10}(3^2)^5}{3^{22}(3^5)^4}+\frac{(2^2\cdot5)^4}{(2^3)^2(5^2)^2}=\frac{3^{19}}{3^{18}}+\frac{2^{10}3^{20}}{3^{42}}+\frac{2^8 5^4}{2^6 5^4}=3+\frac{2^{10}}{3^{22}}+4.

Во втором слагаемом, однако, степень 3 в числителе равна \(10+10=20\), а в знаменателе — \(22+20=42\), поэтому оно равно \(\frac{2^{10}}{3^{22}}\).

Ответ: \(7+\frac{2^{10}}{3^{22}}\).