1029. Найдите биссектрисы треугольника, если одна из его сторон равна a, а прилежащие к этой стороне углы равны α и β.

Пусть сторона \(a\) лежит между углами \(\alpha\) и \(\beta\). Тогда третий угол равен \(180°-\alpha-\beta\).

Длины биссектрис выражаются через стороны и углы. По теореме синусов две остальные стороны:

\[b=\frac{a\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)},\qquad c=\frac{a\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}.\]

Биссектриса угла \(\alpha\):

\[l_\alpha=\frac{2bc\cos(\alpha/2)}{b+c}.\]

После подстановки:

\[l_\alpha=\frac{2a\sin\alpha\sin\beta\cos(\alpha/2)}{(\sin\alpha+\sin\beta)\sin(\alpha+\beta)}.\]

Аналогично:

\[l_\beta=\frac{2a\sin\alpha\sin\beta\cos(\beta/2)}{(\sin\alpha+\sin\beta)\sin(\alpha+\beta)}.\]

Для третьего угла \(\gamma=180°-\alpha-\beta\):

\[l_\gamma=\frac{2a\sin\alpha\sin\beta\cos(\gamma/2)}{\sin\alpha+\sin\beta}.\]