1033. Докажите, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности.

Пусть \(R\) — радиус описанной окружности треугольника ABC. Проведём диаметр \(BA_1\). Угол \(BCA_1\) прямой, так как он опирается на диаметр.

В прямоугольном треугольнике \(A_1BC\):

\[BC=BA_1\sin\angle BA_1C.\]

Так как \(BA_1=2R\), а вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны или дополнительны, их синусы равны:

\[\sin\angle BA_1C=\sin\angle A.\]

Следовательно,

\[BC=2R\sin A,\qquad \frac{BC}{\sin A}=2R.\]

Аналогично получаем:

\[\frac{BC}{\sin A}=\frac{CA}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}=2R.\]

Правая часть равна диаметру описанной окружности.