1035. В окружности проведены хорды AB и CD, пересекающиеся в точке E. Найдите острый угол между этими хордами, если AB = 13 см, CE = 9 см, ED = 4 см и расстояние между точками B и D равно 4√3 см.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

По теореме о пересекающихся хордах:

\[EA\cdot EB=EC\cdot ED=9\cdot4=36.\]

Так как \(EA+EB=AB=13\), получаем:

\[EA\cdot(13-EA)=36.\]

Отсюда \(EA=9\), \(EB=4\). Рассмотрим треугольник BED: его стороны \(BE=4\), \(ED=4\), \(BD=4\sqrt3\).

По теореме косинусов для угла BED:

\[\cos\angle BED=\frac{4^2+4^2-(4\sqrt3)^2}{2\cdot4\cdot4}=-\frac12.\]

Значит, \(\angle BED=120°\). Острый угол между хордами равен дополнительному к нему:

\[180°-120°=60°.\]

Ответ: 60°.