108. Высота прямоугольной трапеции, проведенная из вершины тупого угла, делит ее основание на отрезки, первый из которых, считая от вершины прямого угла, на 4 см больше второго. Найдите основания трапеции, если ее средняя линия равна 13 см.

Пусть отрезки основания равны \(x\) и \(y\), причём первый, отсчитываемый от вершины прямого угла, на 4 см больше второго: \(x=y+4\). В прямоугольной трапеции эти отрезки равны соответственно меньшему основанию и разности между большим основанием и меньшим.

Сумма оснований равна удвоенной средней линии: \(a+b=2\cdot13=26\) см. Следовательно, сумма отрезков основания равна 26 см: \(x+y=26\). Решаем систему: \(x-y=4\), \(x+y=26\). Получаем \(x=15\), \(y=11\). Тогда основания равны 15 см и \(15+11=26\) см? Это противоречило бы их сумме 26 см, поэтому уточним связь: при опускании высоты от тупого угла отрезок от вершины прямого угла до основания высоты равен разности оснований, а второй отрезок равен меньшему основанию. Их сумма — большее основание, а не сумма оснований.

Обозначим меньшее основание через \(b\), а разность оснований через \(d\). Тогда \(d=b+4\), а \(2b+d=26\). Отсюда \(3b+4=26\), \(b=\frac{22}{3}\), \(d=\frac{34}{3}\), и большее основание \(b+d=\frac{56}{3}\) см.

Ответ: \(\frac{22}{3}\) см и \(\frac{56}{3}\) см.