110. Средняя линия равнобокой трапеции равна ее высоте. Докажите, что диагонали этой трапеции перпендикулярны.

Обозначим основания трапеции через \(a\) и \(b\), высоту — через \(h\), а среднюю линию — через \(m\). Тогда \(m=\frac{a+b}{2}\), и по условию \(h=m\).

Расположим равнобокую трапецию симметрично относительно вертикальной оси. Направляющие векторы её диагоналей можно записать как \((m,h)\) и \((-m,h)\). Их скалярное произведение равно \(-m^2+h^2\). Так как \(h=m\), получаем \(-m^2+h^2=0\). Следовательно, диагонали перпендикулярны.

Доказано.