11. (1 - log₈ 48) (1 - log₆ 48)

Решение:

Заметим, что \( 48 = 8 \cdot 6 \).

Используем свойства логарифмов:

1. \( \log_a (xy) = \log_a x + \log_a y \)
2. \( \log_a a = 1 \)

Рассмотрим первый множитель:

\[ 1 - \log_8 48 = \log_8 8 - \log_8 48 = \log_8 \frac{8}{48} = \log_8 \frac{1}{6} \]

Рассмотрим второй множитель:

\[ 1 - \log_6 48 = \log_6 6 - \log_6 48 = \log_6 \frac{6}{48} = \log_6 \frac{1}{8} \]

Теперь перемножим полученные выражения:

\[ \log_8 \frac{1}{6} \cdot \log_6 \frac{1}{8} \]

Используем формулу перехода к новому основанию \( \log_b a = \frac{1}{\log_a b} \):

\[ \log_8 (6^{-1}) \cdot \log_6 (8^{-1}) = (-1) \log_8 6 \cdot (-1) \log_6 8 = \log_8 6 \cdot \log_6 8 \]

Применяем формулу перехода к новому основанию \( \frac{\log_c a}{\log_c b} \) или \( \log_b a \cdot \log_a b = 1 \):

\[ \log_8 6 \cdot \log_6 8 = 1 \]

Ответ: 1