11. (2 б.) Знайти суму двадцяти перших членів арифметичної прогресії (аn), якщо а₅ = -0,8, a₁₁ = -5.

Завдання: Знайти суму перших 20 членів арифметичної прогресії, якщо $$a_5 = -0.8$$ і $$a_{11} = -5$$.

Розв'язання:

Спочатку знайдемо різницю прогресії $$d$$ та перший член $$a_1$$.

Ми маємо систему рівнянь, використовуючи формулу n-го члена $$a_n = a_1 + (n-1)d$$:

1. $$a_5 = a_1 + (5-1)d ightarrow -0.8 = a_1 + 4d$$
2. $$a_{11} = a_1 + (11-1)d ightarrow -5 = a_1 + 10d$$

Віднімемо перше рівняння від другого, щоб знайти $$d$$:

$$(-5) - (-0.8) = (a_1 + 10d) - (a_1 + 4d)$$

$$-5 + 0.8 = a_1 + 10d - a_1 - 4d$$

$$-4.2 = 6d$$

$$d = rac{-4.2}{6}$$

$$d = -0.7$$

Тепер підставимо значення $$d$$ у перше рівняння, щоб знайти $$a_1$$:

$$-0.8 = a_1 + 4(-0.7)$$

$$-0.8 = a_1 - 2.8$$

$$a_1 = -0.8 + 2.8$$

$$a_1 = 2$$

Отже, перший член прогресії $$a_1 = 2$$, а різниця $$d = -0.7$$.

Тепер знайдемо суму перших 20 членів за формулою $$S_n = rac{2a_1 + (n-1)d}{2} imes n$$:

$$S_{20} = rac{2(2) + (20-1)(-0.7)}{2} imes 20$$

$$S_{20} = rac{4 + (19)(-0.7)}{2} imes 20$$

$$S_{20} = rac{4 - 13.3}{2} imes 20$$

$$S_{20} = rac{-9.3}{2} imes 20$$

$$S_{20} = -4.65 imes 20$$

$$S_{20} = -93$$

Відповідь: -93.