№ 11. ABCD — равнобокая трапеция, AB = CD = 5, AD = 10. Диагональ BD перпендикулярна AB. Найдите углы, обозначенные вопросами: ∠A, угол между BC и BD, ∠C и ∠BDC.

В треугольнике ABD угол B прямой, AD = 10 — гипотенуза, AB = 5. Поэтому ∠DAB = 30°, ∠ADB = 60°, а BD = 5√3.

Из равенства боковых сторон и параллельности оснований горизонтальные проекции боковых сторон равны. Для AB горизонтальная проекция равна 5·cos 30° = 5√3/2, значит BC = 10 − 5√3. Высота трапеции равна 5·sin 30° = 2.5. Следовательно, угол при C удовлетворяет tan(180° − ∠C) = 2.5/(5√3/2), откуда ∠C ≈ 133.9°.

В равнобокой трапеции ∠A = 180° − ∠C ≈ 46.1°. Поскольку ∠ABD = 90°, угол между BC и BD равен ∠B − 90° = ∠C − 90° ≈ 43.9°. В треугольнике BCD оставшийся угол ∠BDC = 180° − ∠C − 43.9° ≈ 2.2°.

Ответ: ∠A ≈ 46.1°, угол между BC и BD ≈ 43.9°, ∠C ≈ 133.9°, ∠BDC ≈ 2.2°.