№ 9. ABCD — равнобокая трапеция, AB = CD = 7. BH перпендикулярна AD, AH = 3. Диагональ BD делит угол D пополам. Найдите AD.

Так как AB = CD и основания параллельны, боковые стороны имеют одинаковые горизонтальные проекции. Проекция AB на основание равна AH = 3, значит проекция CD на основание тоже равна 3.

Обозначим горизонтальное расстояние от H до D через HD. В прямоугольном треугольнике ABH: BH² = 7² − 3² = 40.

Биссектриса угла D означает, что расстояния от B до прямых DA и DC равны. Расстояние до DA равно BH. Из координатного расчёта для точки B и стороны DC получаем это расстояние как BH·(HD − 3)/7. Следовательно, HD − 3 = 7, то есть HD = 10.

AD = AH + HD = 3 + 10 = 13.

Ответ: AD = 13.