11) ABCD — ромб. H лежит на AD, BH ⟂ AD, AH = BH. α — угол C, β — угол BDC. Найдите α и β.

Треугольник AHB прямоугольный и AH = BH, поэтому его острые углы равны 45°. Следовательно, угол A ромба равен 45°, а α = ∠C = 45°.

Обозначим длину стороны ромба через s. Из AH = BH и прямоугольности треугольника AHB следует, что AH = BH = s/√2. Тогда DH = AD − AH = s(1 − 1/√2). В прямоугольном треугольнике BHD получаем tan β = BH/DH = 1/(√2 − 1) = √2 + 1, откуда β = 67.5°.

Ответ: α = 45°, β = 67.5°.