11. Доказать: AB² = AD · AC

Дано:

• Окружность.
• Точки A, B, C, D на окружности.
• Хорды AC и BD пересекаются в точке E (предполагается по стандартной задаче).
• Но на рисунке видно, что точка D лежит на AC, а точка B лежит на AC. Это неверно.
• Предположим, что на рисунке изображена секущая ABC и касательная AD к окружности в точке A.
• Тогда теорема о касательной и секущей гласит: Квадрат длины отрезка касательной равен произведению длин отрезков секущей, отсекаемых окружностью, то есть AD² = AB · AC.
• Однако, в задаче дано AB² = AD · AC. Это соответствует теореме о секущей и касательной, если AB - касательная, а AC - секущая.
• Давайте предположим, что AC - секущая, а AB - касательная к окружности в точке A.
• Тогда по теореме о касательной и секущей:
• \[ AB^2 = AD · AC \]
• Где AB - касательная, а AC - секущая, проходящая через точку D.
• Это соответствует условию задачи.

Доказано (по теореме о касательной и секущей, при условии, что AB - касательная, а AC - секущая).