3. Найти: ∠ADB

Дано:

• Окружность.
• Точка касания В.
• ∠ABD = 30°.
• ∠BAD = 80°.

Решение:

1. Угол между касательной и хордой: Угол между касательной AB и хордой BD равен половине дуги BD. Следовательно, дуга BD = 2 * ∠BAD (если считать, что ∠BAD — это вписанный угол, опирающийся на дугу BD). НО! Это не так. Угол ∠ABD = 30° является углом между касательной AB и хордой BD. Следовательно, дуга AD = 2 * ∠ABD = 2 * 30° = 60°.
2. Вписанный угол: Угол ∠ADB является вписанным углом, опирающимся на дугу AB.
3. Недостаточно информации для определения дуги AB.
4. Переформулируем первый пункт: Угол между касательной AB и хордой AD равен половине дуги AD. Таким образом, если бы ∠BAD был углом между касательной и хордой, то дуга BD = 2 * ∠BAD. Но ∠BAD = 80° дан как вписанный угол, опирающийся на дугу BD.
5. Вписанный угол ∠BAD = 80° опирается на дугу BD. Следовательно, дуга BD = 2 * 80° = 160°.
6. Угол между касательной AB и хордой BD равен ∠ABD = 30°. Этот угол равен половине дуги AD. Следовательно, дуга AD = 2 * 30° = 60°.
7. Сумма дуг в окружности равна 360°. Дуга AB = 360° - дуга BD - дуга AD = 360° - 160° - 60° = 140°.
8. Вписанный угол ∠ADB опирается на дугу AB.
9. Вычисление ∠ADB: ∠ADB = дуга AB / 2 = 140° / 2 = 70°.

Ответ: ∠ADB = 70°