8. Доказать: ΔADK ~ ΔFEK, AK·KE = DK·KF

Доказательство:

Часть 1: Доказать подобие треугольников ΔADK ~ ΔFEK

Для подобия треугольников достаточно доказать равенство двух углов.

1. Углы \( \angle AKD \) и \( \angle EKF \) являются вертикальными углами, поэтому \( \angle AKD = \angle EKF \).
2. Углы \( \angle DAK \) и \( \angle FEK \) являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу DK. Следовательно, \( \angle DAK = \angle FEK \).

Так как два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то треугольники ΔADK и ΔFEK подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Часть 2: Доказать равенство произведений AK·KE = DK·KF

Из подобия треугольников ΔADK ~ ΔFEK следует пропорциональность их сторон:

\( \frac{AD}{FE} = \frac{AK}{FK} = \frac{DK}{EK} \).

Рассмотрим пропорцию \( \frac{AK}{FK} = \frac{DK}{EK} \).

Перемножим крест-накрест:

\( AK \cdot EK = DK \cdot FK \).

Что и требовалось доказать.