8. Доказать: ΔADK ~ ΔFEK, AK · KE = DK · KF

Дано:

• Окружность.
• Точки A, D, K, F, E на окружности.
• Хорды AF, DE пересекаются в точке K.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники ΔADK и ΔFEK.
2. Вертикальные углы: ∠AKD = ∠FKE (вертикальные углы).
3. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны:
   • Угол ∠DAK (или ∠DAF) опирается на дугу DF.
   • Угол ∠DEF (или ∠DEK) опирается на дугу DF.
   • Следовательно, ∠DAK = ∠DEF.
   • Угол ∠ADK (или ∠ADE) опирается на дугу AE.
   • Угол ∠AFK (или ∠AFE) опирается на дугу AE.
   • Следовательно, ∠ADK = ∠AFK.
4. По двум углам (∠AKD = ∠FKE и ∠DAK = ∠DEF), треугольники ΔADK и ΔFEK подобны.
5. Следовательно, ΔADK ~ ΔFEK (по двум углам).
6. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:
7. \[ \frac{AD}{FE} = \frac{AK}{FK} = \frac{DK}{EK} \]
8. Рассмотрим равенство:
9. \[ \frac{AK}{FK} = \frac{DK}{EK} \]
10. Умножим крест-накрест:
11. \[ AK · EK = DK · FK \]
12. Что и требовалось доказать.

Доказано.