11. Докажите, что верно равенство $\frac{1}{(a-b)(a-c)}+\frac{1}{(b-a)(b-c)}-\frac{1}{(c-a)(b-c)}=0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 11. Докажите, что верно равенство $\frac{1}{(a-b)(a-c)}+\frac{1}{(b-a)(b-c)}-\frac{1}{(c-a)(b-c)}=0$.$ Фото задания

Accepted Answer

При $a\ne b$, $a\ne c$, $b\ne c$ приведём дроби к общему знаменателю $(a-b)(a-c)(b-c)$. Так как $b-a=-(a-b)$ и $c-a=-(a-c)$, получаем:

$\frac{1}{(a-b)(a-c)}+\frac{1}{(b-a)(b-c)}-\frac{1}{(c-a)(b-c)}=\frac{(b-c)-(a-c)+(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}$.

Числитель равен $b-c-a+c+a-b=0$. Следовательно, исходная сумма равна нулю.

Равенство доказано.

11. Докажите, что верно равенство \(\frac{1}{(a-b)(a-c)}+\frac{1}{(b-a)(b-c)}-\frac{1}{(c-a)(b-c)}=0\).