11. Докажите, что верно равенство \(\frac{1}{(a-b)(b-c)}-\frac{1}{(c-a)(c-b)}+\frac{1}{(c-a)(a-b)}=0\).

Заметим, что \(c-b=-(b-c)\). Поэтому второй член равен \(\frac{1}{(c-a)(b-c)}\). Приведём все дроби к общему знаменателю \((a-b)(b-c)(c-a)\): \[\frac{c-a}{(a-b)(b-c)(c-a)}+\frac{a-b}{(a-b)(b-c)(c-a)}+\frac{b-c}{(a-b)(b-c)(c-a)}.\]

Числитель равен \((c-a)+(a-b)+(b-c)=0\), значит, вся сумма равна нулю. В исходном выражении знаменатели должны быть ненулевыми: \(a\ne b\), \(b\ne c\), \(c\ne a\).

Равенство доказано.