11. На рисунке изображён график функции f(x) = a sin x + b. Найдите а.

Анализ графика:

На графике изображена синусоида, смещенная и растянутая. Функция имеет вид \(f(x) = a \sin x + b\).

Определение параметров a и b:

1. Амплитуда: \(a\) отвечает за амплитуду колебаний. Амплитуда — это половина разницы между максимальным и минимальным значением функции.
2. Максимальное значение функции на графике: \(y_{max} = 3\).
3. Минимальное значение функции на графике: \(y_{min} = -1\).
4. Амплитуда \(|a| = \frac{y_{max} - y_{min}}{2} = \frac{3 - (-1)}{2} = \frac{4}{2} = 2\).
5. Вертикальный сдвиг: \(b\) отвечает за вертикальный сдвиг графика. Центр колебаний находится на уровне \(y = b\).
6. \(b = \frac{y_{max} + y_{min}}{2} = \frac{3 + (-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1\).
7. Таким образом, функция имеет вид \(f(x) = a \sin x + 1\).
8. Определение знака 'a':
9. Обычная функция \(\sin x\) начинается с нуля и идет вверх. На графике функция начинается с точки \((0, 1)\) (это \(b\)) и идет вверх, что соответствует поведению \(\sin x\) с положительным коэффициентом \(a\).
10. Если бы \(a\) было отрицательным, график начинался бы с \((0, 1)\) и шел бы вниз.
11. Следовательно, \(a = 2\).

Проверка:

• Если \(a=2\) и \(b=1\), то \(f(x) = 2 \sin x + 1\).
• При \(x=0\), \(f(0) = 2 \sin 0 + 1 = 2 \cdot 0 + 1 = 1\). (Верно)
• При \(x=\pi/2\), \(f(\pi/2) = 2 \sin(\pi/2) + 1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3\). (Максимальное значение, верно)
• При \(x=3\pi/2\), \(f(3\pi/2) = 2 \sin(3\pi/2) + 1 = 2 \cdot (-1) + 1 = -1\). (Минимальное значение, верно)

Ответ: 2