13 а) Решите уравнение $$\frac{17 \sin^{2} (\frac{\pi}{2} + x) - 8 \cos(3\pi + x)}{17 \sin (5\pi - x) - 15} = 0$$.

Краткое пояснение:

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Воспользуемся тригонометрическими тождествами для упрощения уравнения.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Упростим выражения в числителе и знаменателе, используя тригонометрические тождества:
   \( \sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos(x) \)
   \( \sin^{2}(\frac{\pi}{2} + x) = \cos^{2}(x) \)
   \( \cos(3\pi + x) = \cos(\pi + x) = -\cos(x) \)
   \( \sin(5\pi - x) = \sin(\pi - x) = \sin(x) \)
2. Шаг 2: Подставим упрощенные выражения в уравнение:
   Числитель: $$17\cos^{2}(x) - 8(-\cos(x)) = 17\cos^{2}(x) + 8\cos(x)$$.
   Знаменатель: $$17\sin(x) - 15$$.
3. Шаг 3: Приравняем числитель к нулю:
   $$17\cos^{2}(x) + 8\cos(x) = 0$$
   $$\cos(x) (17\cos(x) + 8) = 0$$.
   Это дает два случая:
   а) $$\cos(x) = 0$$
   б) $$17\cos(x) + 8 = 0 → \cos(x) = -\frac{8}{17}$$.
4. Шаг 4: Проверим условие, что знаменатель не равен нулю: $$17\sin(x) - 15
   eq 0 → \sin(x)
   eq \frac{15}{17}$$.
5. Шаг 5: Рассмотрим случай а) $$\cos(x) = 0$$.
   Если $$\cos(x) = 0$$, то $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$, где $$n$$ — целое число.
   В этом случае $$\sin(x) = \pm 1$$.
   Если $$\sin(x) = 1$$, то $$17(1) - 15 = 2
   eq 0$$.
   Если $$\sin(x) = -1$$, то $$17(-1) - 15 = -32
   eq 0$$.
   Таким образом, $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$ является решением.
6. Шаг 6: Рассмотрим случай б) $$\cos(x) = -\frac{8}{17}$$.
   Мы знаем, что $$\sin^{2}(x) + \cos^{2}(x) = 1$$.
   $$\sin^{2}(x) = 1 - \cos^{2}(x) = 1 - (-\frac{8}{17})^{2} = 1 - \frac{64}{289} = \frac{289 - 64}{289} = \frac{225}{289}$$.
   $$\sin(x) = \pm \sqrt{\frac{225}{289}} = \pm \frac{15}{17}$$.
   При $$\sin(x) = \frac{15}{17}$$, знаменатель $$17(\frac{15}{17}) - 15 = 15 - 15 = 0$$. Это недопустимо.
   При $$\sin(x) = -\frac{15}{17}$$, знаменатель $$17(-\frac{15}{17}) - 15 = -15 - 15 = -30
   eq 0$$.
   Значит, решениями являются те $$x$$, для которых $$\cos(x) = -\frac{8}{17}$$ и $$\sin(x) = -\frac{15}{17}$$.
   Это соответствует $$x = \arctan(\frac{15}{8}) + 2\pi k$$ или $$x = -\arctan(\frac{15}{8}) + 2\pi k$$. Учитывая, что $$\cos(x)<0$$ и $$\sin(x)<0$$, это третья четверть.
   $$x = \pi + \alpha$$, где $$\cos(\alpha) = 8/17$$ и $$\sin(\alpha) = 15/17$$.
7. Шаг 7: Объединяем решения.
   Решения: $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$ и $$x = \pi + \alpha + 2\pi k$$, где $$\cos(\alpha) = 8/17$$ и $$\sin(\alpha) = 15/17$$.

Ответ: $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$ и $$x = \pi + \alpha$$, где $$\cos(\alpha) = 8/17$$, $$\sin(\alpha) = 15/17$$, $$n, k ∈ ℤ$$