12 Найдите наименьшее значение функции $$y = 10x - \ln (x + 14)^{10}$$ на отрезке $$[-13,5; 0]$$.

Краткое пояснение:

Для нахождения наименьшего значения функции на отрезке, необходимо найти производную функции, приравнять её к нулю, найти критические точки, затем вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Упростим функцию: $$y = 10x - 10 ∅ln (x + 14)$$.
2. Шаг 2: Найдем производную функции $$y'$$.
   $$y' = (10x)' - (10 ∅ln (x + 14))'$$
   $$y' = 10 - 10 \cdot \frac{1}{x+14} \cdot (x+14)'$$
   $$y' = 10 - \frac{10}{x+14}$$.
3. Шаг 3: Приравняем производную к нулю и найдем критические точки.
   $$10 - \frac{10}{x+14} = 0$$
   $$10 = \frac{10}{x+14}$$
   $$10(x+14) = 10$$
   $$x+14 = 1$$
   $$x = -13$$.
4. Шаг 4: Проверим, принадлежит ли найденная критическая точка отрезку $$[-13.5; 0]$$.
   $$x = -13$$ принадлежит отрезку.
5. Шаг 5: Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке.
   На концах отрезка:
   При $$x = -13.5$$: $$y = 10(-13.5) - 10 ∅ln (-13.5 + 14) = -135 - 10 ∅ln (0.5) = -135 - 10 ∅ln (1/2) = -135 + 10 ∅ln 2$$.
   При $$x = 0$$: $$y = 10(0) - 10 ∅ln (0 + 14) = -10 ∅ln 14$$.
   В критической точке:
   При $$x = -13$$: $$y = 10(-13) - 10 ∅ln (-13 + 14) = -130 - 10 ∅ln 1 = -130 - 10 ∅ · 0 = -130$$.
6. Шаг 6: Сравним полученные значения.
   \( -135 + 10 ∅ln 2 \approx -135 + 10 ∅ 0.693 = -135 + 6.93 = -128.07 \).
   \( -10 ∅ln 14 \approx -10 ∅ 2.639 = -26.39 \).
   Наименьшее значение среди $$-128.07$$, $$-26.39$$, $$-130$$ равно $$-130$$.

Ответ: -130