№ 11. На рисунке равнобедренная трапеция ABCD, AB = CD = 5, AD = 10; ∠ABD = 90°. Проведена диагональ BD. Найти отмеченные углы.

Предполагаем, что основания трапеции параллельны: BC ∥ AD.

1. В прямоугольном треугольнике ABD гипотенуза AD = 10, катет AB = 5. Поэтому sin(∠ADB) = AB / AD = 1/2, значит ∠ADB = 30°.
2. Тогда ∠BAD = 180° − 90° − 30° = 60°.
3. Угол A трапеции равен 60°. Углы при одном боковом ребре AB в сумме дают 180°, значит весь угол B равен 120°. Его часть ∠ABD равна 90°, поэтому ∠CBD = 120° − 90° = 30°.
4. Так как BC ∥ AD, угол C равен 120°. Угол D равен 60°, а его часть ∠BDA равна 30°, следовательно, ∠BDC = 60° − 30° = 30°.

Ответ: ∠A = 60°, ∠CBD = 30°, ∠C = 120°, ∠BDC = 30°.