№ 9. На рисунке равнобедренная трапеция ABCD, AB = CD = 7, AH = 3, BH ⟂ AD; BD — биссектриса угла ADC. Найти AD.

Поскольку трапеция равнобедренная, проекции её боковых сторон на основание равны. Поэтому горизонтальная проекция CD на AD также равна 3.

1. В прямоугольном треугольнике ABH: BH = √(AB² − AH²) = √(49 − 9) = √40.
2. Пусть HD = x. Тогда из прямоугольного треугольника BHD: tan(∠ADB) = BH / x.
3. В треугольнике с боковой стороной CD = 7 и горизонтальной проекцией 3 высота равна BH. Поскольку BD — биссектриса угла ADC, используем формулу тангенса половины угла: tan(∠ADB) = BH / (7 + 3) = BH / 10.
4. Следовательно, BH / x = BH / 10, откуда x = 10. Тогда AD = AH + HD = 3 + 10 = 13.

Ответ: AD = 13.