11. Найди наибольшее целое решение неравенства \(\frac{x^2 - 7x + 12}{2 - 4x} \ge 0\).

Решение:

1. Найдем корни числителя \( x^2 - 7x + 12 = 0 \): \( D = (-7)^2 - 4(1)(12) = 49 - 48 = 1 \). \( x_1 = \frac{7 + 1}{2} = 4 \), \( x_2 = \frac{7 - 1}{2} = 3 \).
2. Найдем корень знаменателя \( 2 - 4x = 0 \): \( 4x = 2 \), \( x = 1/2 \).
3. Разобьем числовую прямую на интервалы с помощью найденных точек: \(-\infty, 1/2\), \((1/2, 3]\), \([3, 4]\), \([4, \infty)\).
4. Определим знаки выражения \(\frac{(x-3)(x-4)}{2(1-2x)}\) на каждом интервале:
• При \( x < 1/2 \) (например, \( x=0 \)): \(\frac{(-3)(-4)}{2(1)} = \frac{12}{2} = 6 > 0 \).
• При \( 1/2 < x \le 3 \) (например, \( x=1 \)): \(\frac{(-2)(-3)}{2(-1)} = \frac{6}{-2} = -3 < 0 \).
• При \( 3 \le x \le 4 \) (например, \( x=3.5 \)): \(\frac{(0.5)(-0.5)}{2(-2.5)} = \frac{-0.25}{-5} = 0.05 > 0 \).
• При \( x > 4 \) (например, \( x=5 \)): \(\frac{(2)(1)}{2(-9)} = \frac{2}{-18} < 0 \).
5. Неравенство \(\ge 0\) выполняется на интервалах \( (-\infty, 1/2) \) и \( [3, 4] \).
6. Наибольшее целое число в этих интервалах — 4.

Ответ: Наибольшее целое решение — 4.