11. Плоскость, проходящая через три точки А, В и С, разбивает правильную треугольную призму на два многогранника. Сколько ребер у многогранника, у которого больше вершин?

Решение:

Правильная треугольная призма имеет 2 треугольных основания и 3 прямоугольных боковых грани. Всего 5 граней.

В основании — 3 вершины, и в другом основании — 3 вершины. Всего 6 вершин.

В основании — 3 ребра, и в другом основании — 3 ребра, плюс 3 боковых ребра, соединяющих вершины оснований. Всего 9 ребер.

Плоскость, проходящая через три точки А, В и С, разбивает призму. Точки А, В, С могут принадлежать разным граням или ребрам призмы. Рассмотрим случай, когда плоскость проходит через вершины призмы.

Пусть точки А, В, С — это вершины одного из оснований призмы. Тогда плоскость совпадает с основанием, и призма не разбивается на два многогранника.

Предположим, что А, В, С — это вершины, расположенные так, что они образуют сечение. Например, А и В — вершины одного основания, а С — вершина другого основания.

Если плоскость проходит через три вершины нижнего основания, то призма не делится. Если плоскость проходит через три вершины верхнего основания, то призма не делится.

Если плоскость проходит через две вершины нижнего основания и одну верхнего, то она отсекает от призмы треугольную пирамиду.

Давайте рассмотрим пример: А и В — две вершины нижнего основания, С — вершина верхнего основания, соединенная с А. Это даст нам сечение, которое является треугольником.

Призма имеет 6 вершин. Если плоскость проходит через 3 вершины, то она образует сечение. Многогранник, у которого больше вершин, будет иметь 6 вершин (исходная призма), а второй многогранник будет иметь 3 вершины (отсеченная пирамида, если она отсекается).

Если плоскость проходит через три вершины, например, две вершины нижнего основания и одну вершину верхнего основания, то от призмы отсекается треугольная пирамида. У этой пирамиды 4 вершины. Вторая часть (остаток призмы) будет иметь 6 вершин (3 в нижнем основании + 3 в верхнем, включая вершину С).

Многогранник с большим количеством вершин — это оставшаяся часть призмы, у которой 6 вершин.

У этого многогранника (оставшейся части призмы) будет:

• Вершин: 6 (3 нижних + 3 верхних).
• Ребер: 9 (3 нижних + 3 верхних + 3 боковых).
• Граней: 5 (1 нижнее основание + 1 верхнее основание + 3 боковые грани).

У отсеченной пирамиды:

• Вершин: 4 (2 нижних + 1 верхнее).
• Ребер: 6 (2 нижних + 1 боковое + 3 от ребра основания до вершины).
• Граней: 4 (1 нижнее основание + 3 боковые грани).

Таким образом, многогранник с большим числом вершин имеет 6 вершин. Количество его ребер равно 9.

Ответ: 9