12. В ромбе ABCD AB = 2, AC = √7. Найдите синус угла ВАС.

Решение:

В ромбе ABCD сторона AB = 2. Диагональ AC = \( \sqrt{7} \).

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей как O.

В треугольнике ABC, AB = BC = 2 (стороны ромба). AC = \( \sqrt{7} \).

Рассмотрим треугольник ABC. Это равнобедренный треугольник.

Диагональ AC = \( \sqrt{7} \).

Рассмотрим треугольник AOB. Это прямоугольный треугольник, так как диагонали ромба перпендикулярны. AO = OC, BO = OD.

AO = \( \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{7}}{2} \).

В прямоугольном треугольнике AOB:

AB² = AO² + BO²

\[ 2^2 = \left(\frac{\sqrt{7}}{2}\right)^2 + BO^2 \]

\( 4 = \frac{7}{4} + BO^2 \)

\( BO^2 = 4 - \frac{7}{4} = \frac{16 - 7}{4} = \frac{9}{4} \)

\( BO = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2} \).

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Нам нужно найти синус угла ВАС. Угол ВАС — это угол в треугольнике ABC.

В треугольнике ABC:

AB = 2

BC = 2

AC = \( \sqrt{7} \)

Чтобы найти синус угла ВАС, нам нужен противолежащий катет (BO) и гипотенуза (AB) в прямоугольном треугольнике AOB, где угол BAC является одним из острых углов.

В прямоугольном треугольнике AOB:

sin(∠BAC) = \( \frac{BO}{AB} \)

\[ \sin(\angle BAC) = \frac{\frac{3}{2}}{2} = \frac{3}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4} \]

Ответ: \( \frac{3}{4} \)