13. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна √3.

Решение:

Объем правильной треугольной пирамиды вычисляется по формуле:

\[ V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H \]

где \( S_{осн} \) — площадь основания, а \( H \) — высота пирамиды.

Основанием является правильный треугольник со стороной \( a = 1 \).

Площадь правильного треугольника со стороной \( a \) вычисляется по формуле:

\[ S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \]

Подставим \( a = 1 \):

\[ S_{осн} = \frac{1^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4} \]

Высота пирамиды \( H = \sqrt{3} \).

Теперь найдем объем:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \sqrt{3} \]

\( V = \frac{1}{3} \cdot \frac{(\sqrt{3})^2}{4} \)

\( V = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} \)

\( V = \frac{1}{4} \)

Ответ: \( \frac{1}{4} \)