11. Решить уравнение: \( \frac{x + 3}{x - 4} - \frac{2}{x - 3} = \frac{8x - 22}{(x - 4)(x - 3)} \).

Решение:

ОДЗ: \( x \neq 4 \) и \( x \neq 3 \).

Приведём дроби к общему знаменателю \( (x - 4)(x - 3) \):

\( \frac{(x + 3)(x - 3)}{(x - 4)(x - 3)} - \frac{2(x - 4)}{(x - 4)(x - 3)} = \frac{8x - 22}{(x - 4)(x - 3)} \)

Умножим обе части уравнения на \( (x - 4)(x - 3) \), чтобы избавиться от знаменателей:

\( (x + 3)(x - 3) - 2(x - 4) = 8x - 22 \)

Раскроем скобки:

\( x^2 - 9 - 2x + 8 = 8x - 22 \)

\( x^2 - 2x - 1 = 8x - 22 \)

Перенесём все члены в левую часть:

\( x^2 - 2x - 8x - 1 + 22 = 0 \)

\( x^2 - 10x + 21 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-10)^2 - 4(1)(21) = 100 - 84 = 16 \).

\( \sqrt{D} = \sqrt{16} = 4 \).

Найдём корни:

\( x_1 = \frac{10 + 4}{2} = \frac{14}{2} = 7 \)

\( x_2 = \frac{10 - 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)

По ОДЗ \( x \neq 3 \), поэтому \( x_2 = 3 \) не является решением.

Ответ: x = 7.