12. Теплоход прошёл 8 км по озеру, а затем 49км по реке, впадающей в это озеро, за 2 часа. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки составляет 4 км/ч.

Решение:

Пусть \( v \) км/ч — собственная скорость теплохода.

Скорость теплохода по озеру равна \( v \) км/ч.

Скорость теплохода по реке (по течению) равна \( v + 4 \) км/ч.

Время, затраченное на путь по озеру: \( t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{8}{v} \) часа.

Время, затраченное на путь по реке: \( t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{49}{v + 4} \) часа.

Общее время в пути равно 2 часа:

\( t_1 + t_2 = 2 \)

\( \frac{8}{v} + \frac{49}{v + 4} = 2 \)

Умножим обе части уравнения на \( v(v + 4) \) (так как \( v > 0 \) и \( v+4 > 0 \)):

\( 8(v + 4) + 49v = 2v(v + 4) \)

\( 8v + 32 + 49v = 2v^2 + 8v \)

\( 57v + 32 = 2v^2 + 8v \)

Перенесём все члены в правую часть:

\( 2v^2 + 8v - 57v - 32 = 0 \)

\( 2v^2 - 49v - 32 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-49)^2 - 4(2)(-32) = 2401 + 256 = 2657 \).

\( \sqrt{D} = \sqrt{2657} \approx 51.55 \)

Найдём корни:

\( v_1 = \frac{49 + \sqrt{2657}}{4} \approx \frac{49 + 51.55}{4} = \frac{100.55}{4} \approx 25.14 \)

\( v_2 = \frac{49 - \sqrt{2657}}{4} \approx \frac{49 - 51.55}{4} = \frac{-2.55}{4} \approx -0.64 \)

Так как скорость не может быть отрицательной, берём \( v_1 \).

Ответ: Приблизительно 25.14 км/ч.