11. Решить уравнение: (x+3)/(x-4) - 2/(x-3) = (8x-22)/((x-4)(x-3))

Решение:

Перенесём все члены уравнения в левую часть:

\( \frac{x+3}{x-4} - \frac{2}{x-3} - \frac{8x-22}{(x-4)(x-3)} = 0 \)

Приведём дроби к общему знаменателю \( (x-4)(x-3) \):

\( \frac{(x+3)(x-3)}{(x-4)(x-3)} - \frac{2(x-4)}{(x-4)(x-3)} - \frac{8x-22}{(x-4)(x-3)} = 0 \)

Теперь объединим числители:

\( \frac{(x^2 - 9) - (2x - 8) - (8x - 22)}{(x-4)(x-3)} = 0 \)

\( \frac{x^2 - 9 - 2x + 8 - 8x + 22}{(x-4)(x-3)} = 0 \)

\( \frac{x^2 - 10x + 21}{(x-4)(x-3)} = 0 \)

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. \( x \neq 4 \) и \( x \neq 3 \).

Решим квадратное уравнение \( x^2 - 10x + 21 = 0 \).

Дискриминант \( D = (-10)^2 - 4(1)(21) = 100 - 84 = 16 \).

\( √{D} = 4 \).

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{10 + 4}{2} = \frac{14}{2} = 7 \)

\( x_2 = \frac{10 - 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)

Так как \( x \neq 3 \), то второй корень не подходит.

Ответ: x = 7.