12. Теплоход прошел 8 км по озеру, а затем 49км по реке, впадающей в это озеро, за 2 часа. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки составляет 4 км/ч.

Решение:

Пусть \( v \) — собственная скорость теплохода (км/ч).

Скорость теплохода по озеру равна его собственной скорости: \( v \) км/ч.

Скорость теплохода по реке (по течению) равна \( v + 4 \) км/ч.

Время движения по озеру: \( t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{8}{v} \) часа.

Время движения по реке: \( t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{49}{v+4} \) часа.

Общее время движения равно 2 часа:

\( t_1 + t_2 = 2 \)

\( \frac{8}{v} + \frac{49}{v+4} = 2 \)

Приведём к общему знаменателю \( v(v+4) \):

\( \frac{8(v+4) + 49v}{v(v+4)} = 2 \)

\( \frac{8v + 32 + 49v}{v^2 + 4v} = 2 \)

\( \frac{57v + 32}{v^2 + 4v} = 2 \)

\( 57v + 32 = 2(v^2 + 4v) \)

\( 57v + 32 = 2v^2 + 8v \)

\( 2v^2 + 8v - 57v - 32 = 0 \)

\( 2v^2 - 49v - 32 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-49)^2 - 4(2)(-32) = 2401 + 256 = 2657 \).

\( √{D} = √{2657} ≈ 51.55 \).

\( v_1 = \frac{49 + √{2657}}{4} \)

\( v_2 = \frac{49 - √{2657}}{4} \)

Так как скорость не может быть отрицательной, второй корень не подходит. Рассчитаем первый корень:

\( v = \frac{49 + 51.55}{4} = \frac{100.55}{4} ≈ 25.14 \)

Проверим, вероятно, в условии задачи подразумевались целые числа. Пересмотрим условие: 8 км по озеру, 49 км по реке, общее время 2 часа, скорость течения 4 км/ч. Скорее всего, теплоход сначала плыл по реке, а потом по озеру, иначе время движения по реке будет больше времени движения по озеру при одинаковой скорости.

Предположим, теплоход сначала плыл по реке, а потом по озеру.

Пусть \( v \) — собственная скорость теплохода.

Скорость по реке (против течения): \( v - 4 \) км/ч. Время: \( t_1 = \frac{49}{v-4} \).

Скорость по озеру: \( v \) км/ч. Время: \( t_2 = \frac{8}{v} \).

\( \frac{49}{v-4} + \frac{8}{v} = 2 \)

\( \frac{49v + 8(v-4)}{v(v-4)} = 2 \)

\( \frac{49v + 8v - 32}{v^2 - 4v} = 2 \)

\( \frac{57v - 32}{v^2 - 4v} = 2 \)

\( 57v - 32 = 2v^2 - 8v \)

\( 2v^2 - 8v - 57v + 32 = 0 \)

\( 2v^2 - 65v + 32 = 0 \)

Дискриминант \( D = (-65)^2 - 4(2)(32) = 4225 - 256 = 3969 \).

\( √{D} = 63 \).

\( v_1 = \frac{65 + 63}{4} = \frac{128}{4} = 32 \).

\( v_2 = \frac{65 - 63}{4} = \frac{2}{4} = 0.5 \).

Если \( v = 0.5 \), то скорость против течения \( v - 4 = 0.5 - 4 = -3.5 \), что невозможно. Значит, \( v = 32 \) км/ч.

Проверим: Время по реке \( \frac{49}{32-4} = \frac{49}{28} = 1.75 \) часа. Время по озеру \( \frac{8}{32} = 0.25 \) часа. Общее время \( 1.75 + 0.25 = 2 \) часа. Всё верно.

Ответ: 32 км/ч.