7. Упростите выражение: 1) (a+3)/(a-3) + (a-3)/(a+3) : 3a²+27 / 9-a³

Решение:

Выполним преобразования по частям.

Часть 1: Сложение дробей

\( \frac{a+3}{a-3} + \frac{a-3}{a+3} = \frac{(a+3)^2 + (a-3)^2}{(a-3)(a+3)} \)

Раскроем скобки в числителе:

\( (a+3)^2 = a^2 + 6a + 9 \)

\( (a-3)^2 = a^2 - 6a + 9 \)

Сложим числители:

\( (a^2 + 6a + 9) + (a^2 - 6a + 9) = 2a^2 + 18 \)

Знаменатель - это разность квадратов:

\( (a-3)(a+3) = a^2 - 9 \)

Таким образом, первая часть равна: \( \frac{2a^2 + 18}{a^2 - 9} \)

Часть 2: Преобразование второй дроби

\( \frac{3a^2 + 27}{9 - a^2} = \frac{3(a^2 + 9)}{-(a^2 - 9)} = -\frac{3(a^2 + 9)}{a^2 - 9} \)

Часть 3: Деление

Теперь выполним деление первой части на вторую:

\( \frac{2a^2 + 18}{a^2 - 9} : \frac{3a^2 + 27}{9 - a^2} = \frac{2(a^2 + 9)}{a^2 - 9} : \frac{3(a^2 + 9)}{-(a^2 - 9)} \)

Чтобы разделить дроби, умножим первую дробь на обратную вторую:

\( \frac{2(a^2 + 9)}{a^2 - 9} \times \frac{-(a^2 - 9)}{3(a^2 + 9)} \)

Сократим одинаковые множители \( (a^2+9) \) и \( (a^2-9) \):

\( \frac{2}{1} \times \frac{-1}{3} = -\frac{2}{3} \)

Ответ: -2/3.