11. Решите неравенство: \( \frac{(x-5)(x+2)}{x-3} \le 0 \)

Решение:

Найдем корни числителя и знаменателя:

• Числитель: \( (x-5)(x+2) = 0 \) ⇒ \( x=5 \) или \( x=-2 \).
• Знаменатель: \( x-3 = 0 \) ⇒ \( x=3 \).

Отметим эти точки на числовой оси и определим знаки выражения на интервалах:

\( (-\infty; -2] \): возьмем \( x = -3 \), \( \frac{(-3-5)(-3+2)}{-3-3} = \frac{(-8)(-1)}{-6} = \frac{8}{-6} < 0 \). Интервал подходит.

\( [-2; 3) \): возьмем \( x = 0 \), \( \frac{(0-5)(0+2)}{0-3} = \frac{(-5)(2)}{-3} = \frac{-10}{-3} > 0 \). Интервал не подходит.

\( (3; 5] \): возьмем \( x = 4 \), \( \frac{(4-5)(4+2)}{4-3} = \frac{(-1)(6)}{1} = -6 \le 0 \). Интервал подходит.

\( [5; \infty) \): возьмем \( x = 6 \), \( \frac{(6-5)(6+2)}{6-3} = \frac{(1)(8)}{3} = \frac{8}{3} > 0 \). Интервал не подходит.

Учитывая, что \( x \neq 3 \).

Ответ: \( x \in (-\infty; -2] \cup (3; 5] \).