11) Решите уравнение 3sin² x - 4sin x cos x + 5 cos² x = 2.

Решение:

Заменим 2 на \( 2 \cdot 1 \) и используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \).

Уравнение примет вид:

\[ 3\sin^2 x - 4\sin x \cos x + 5\cos^2 x = 2(\sin^2 x + \cos^2 x) \]

Раскроем скобки и перенесем всё в левую часть:

\[ 3\sin^2 x - 4\sin x \cos x + 5\cos^2 x - 2\sin^2 x - 2\cos^2 x = 0 \]

Приведем подобные слагаемые:

\[ (3\sin^2 x - 2\sin^2 x) - 4\sin x \cos x + (5\cos^2 x - 2\cos^2 x) = 0 \]

\( \sin^2 x - 4\sin x \cos x + 3\cos^2 x = 0 \)

Разделим обе части уравнения на \( \cos^2 x \) (предполагая, что \( \cos x \neq 0 \). Если \( \cos x = 0 \), то \( \sin x = \pm 1 \), и тогда \( \sin^2 x = 1 \), уравнение примет вид \( 1 - 0 + 0 = 0 \), что неверно. Значит \( \cos x \neq 0 \)).

\[ \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{4\sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{3\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 \]

Получаем квадратное уравнение относительно \( \text{tg } x \):

\[ \text{tg}^2 x - 4\text{tg } x + 3 = 0 \]

Сделаем замену \( y = \text{tg } x \):

\[ y^2 - 4y + 3 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \).

Корни \( y_1 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{4+2}{2} = 3 \) и \( y_2 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2} = \frac{4-2}{2} = 1 \).

Теперь вернемся к \( \text{tg } x \):

1. \( \text{tg } x = 3 \)

\( x = \text{arctg } 3 + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

2. \( \text{tg } x = 1 \)

\( x = \frac{\pi}{4} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \text{arctg } 3 + \pi k \), \( x = \frac{\pi}{4} + \pi n \), где \( k, n \in \mathbb{Z} \)