15) Решите неравенство lg² x - lgx - 6 > 0.

Решение:

Это логарифмическое неравенство. Сделаем замену переменной.

Пусть \( y = \lg x \). Неравенство примет вид:

\[ y^2 - y - 6 > 0 \]

Это квадратное неравенство относительно \( y \). Найдем корни соответствующего квадратного уравнения \( y^2 - y - 6 = 0 \).

Дискриминант \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \).

Корни \( y_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{1+5}{2} = 3 \) и \( y_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{1-5}{2} = -2 \).

Парабола \( y^2 - y - 6 \) ветвями вверх, поэтому неравенство \( y^2 - y - 6 > 0 \) выполняется при \( y < -2 \) или \( y > 3 \).

Теперь вернемся к замене \( y = \lg x \):

1. \( \lg x < -2 \)

Так как \( \lg x = \log_{10} x \), то:

\[ \log_{10} x < -2 \]

\( x < 10^{-2} \) (основание логарифма 10 > 1, знак неравенства сохраняется).

\( x < 0.01 \).

2. \( \lg x > 3 \)

\( x > 10^3 \)

\( x > 1000 \).

Также необходимо учесть область определения логарифма: \( x > 0 \).

Объединяя условия \( x < 0.01 \), \( x > 1000 \) и \( x > 0 \), получаем:

\( 0 < x < 0.01 \) или \( x > 1000 \).

Ответ: \( (0; 0.01) \cup (1000; +\infty) \)