13) Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x⁴/2 - 2x + 3/2 на отрезке [-1;2].

Решение:

1. Найдем производную функции:

\( f'(x) = \left(\frac{x^4}{2} - 2x + \frac{3}{2}\right)' \)

\[ f'(x) = \frac{4x^3}{2} - 2 = 2x^3 - 2 \]
2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
\[ 2x^3 - 2 = 0 \]

\( 2x^3 = 2 \)

\[ x^3 = 1 \]

\( x = 1 \)

3. Проверим, входит ли критическая точка в заданный отрезок [-1; 2].

\( x = 1 \) входит в отрезок \( [-1; 2] \).

4. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:

а) На левом конце отрезка, при \( x = -1 \):

\[ f(-1) = \frac{(-1)^4}{2} - 2(-1) + \frac{3}{2} = \frac{1}{2} + 2 + \frac{3}{2} = \frac{1+4+3}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]б) В критической точке, при \( x = 1 \):
\[ f(1) = \frac{(1)^4}{2} - 2(1) + \frac{3}{2} = \frac{1}{2} - 2 + \frac{3}{2} = \frac{1-4+3}{2} = \frac{0}{2} = 0 \]в) На правом конце отрезка, при \( x = 2 \):
\[ f(2) = \frac{(2)^4}{2} - 2(2) + \frac{3}{2} = \frac{16}{2} - 4 + \frac{3}{2} = 8 - 4 + \frac{3}{2} = 4 + \frac{3}{2} = \frac{8+3}{2} = \frac{11}{2} = 5.5 \]
5. Сравним полученные значения:

Значения функции: 4, 0, 5.5.

Наибольшее значение равно 5.5.

Наименьшее значение равно 0.

Ответ: Наибольшее значение функции равно 5.5, наименьшее значение равно 0.