11. В ходе бета-распада радиоактивного изотопа А каждые 9 минут половина его атомов без потери массы преобразуются в атомы стабильного изотопа Б. В начальный момент масса изотопа А составляла 320 мг. Найдите массу образовавшегося изотопа Б через 54 минуты. Ответ дайте в миллиграммах.

Задание 11. Бета-распад изотопа

Это задача о радиоактивном распаде, где изотоп А превращается в изотоп Б. Масса изотопа А уменьшается, а масса изотопа Б увеличивается.

Дано:

• Начальная масса изотопа А: \( m_{A0} = 320 \) мг.
• Период полураспада изотопа А: \( T_{1/2} = 9 \) минут.
• За 9 минут половина массы А превращается в массу Б.
• Общее время: \( t = 54 \) минуты.

Найти: массу образовавшегося изотопа Б через 54 минуты \( m_{Б}(54) \).

Решение:

Суммарная масса изотопов А и Б в любой момент времени должна оставаться равной начальной массе изотопа А, так как масса не теряется, а только перераспределяется.

1. Найдем, сколько периодов полураспада прошло за 54 минуты: \[ \text{Количество периодов} = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{54 \text{ мин}}{9 \text{ мин}} = 6 \].
2. Это значит, что масса изотопа А уменьшится вдвое 6 раз.
3. Найдем массу изотопа А через 54 минуты: \[ m_{A}(54) = m_{A0} \times (\frac{1}{2})^n \], где \( n=6 \).
4. Подставим значения: \[ m_{A}(54) = 320 \text{ мг} \times (\frac{1}{2})^6 = 320 \times \frac{1}{64} \].
5. \( m_{A}(54) = \frac{320}{64} = 5 \) мг.
6. Теперь найдем массу образовавшегося изотопа Б. Она равна начальной массе изотопа А минус масса изотопа А, оставшаяся через 54 минуты: \[ m_{Б}(54) = m_{A0} - m_{A}(54) \]
7. Подставим значения: \[ m_{Б}(54) = 320 \text{ мг} - 5 \text{ мг} = 315 \] мг.

Ответ: Масса образовавшегося изотопа Б через 54 минуты составит 315 миллиграммов.