7. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 110.

Задание 7. Змейка на клетчатой бумаге

Эта задача описывает ломаную, длина каждого следующего звена которой увеличивается. Можно заметить закономерность.

Анализ рисунка и условия:

• Смотрим на узор «змейки» на рисунке. Звенья идут перпендикулярно друг другу.
• Длина звеньев, похоже, увеличивается по четным и нечетным направлениям.
• Если последнее звено имеет длину 10, то это звено идет, например, вправо. Предыдущее звено шло вниз и имело длину 9. Перед ним — влево, длиной 8, и т.д.
• Можно предположить, что звенья идут так: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
• Длина ломаной — это сумма длин всех её звеньев.
• Длина ломаной с последним звеном 10 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10.
• Это сумма арифметической прогрессии.

Дано:

• Сумма длин звеньев — это длина ломаной.
• Последнее звено имеет длину \( N \).
• В данном случае \( N = 110 \).

Найти: сумму длин всех звеньев, когда последнее звено равно 110.

Решение:

Задача сводится к нахождению суммы арифметической прогрессии от 1 до 110.

1. Используем формулу суммы первых \( n \) членов арифметической прогрессии, где \( a_1 = 1 \) (первое звено), \( a_n = 110 \) (последнее звено), \( n = 110 \) (количество звеньев): \[ S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2} \]
2. Подставим значения: \[ S_{110} = \frac{(1 + 110) \times 110}{2} \]
3. Вычислим: \[ S_{110} = \frac{111 \times 110}{2} = 111 \times 55 \]
4. \( 111 \(\times\) 55 = 111 \(\times\) (50 + 5) = 5550 + 555 = 6105 \]

Ответ: Длина ломаной, последнее звено которой имеет длину 110, равна 6105.