11. В прямоугольном треугольнике ABC, ∠C = 90°, BC = 6, BK — биссектриса, \(\cos\alpha=\frac45\), где α = ∠A. Найти BK.

Так как \(\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac45\), прямоугольный треугольник подобен треугольнику со сторонами 3–4–5. Сторона BC противолежит углу A, значит \(\sin A=\frac35\). Из \(BC=6\) получаем масштаб 2: \(AC=8\), \(AB=10\).

По теореме о биссектрисе \(\frac{AK}{KC}=\frac{AB}{BC}=\frac{10}{6}=\frac53\). Поскольку \(AC=8\), имеем \(AK=5\), \(KC=3\).

В прямоугольном треугольнике BKC катеты равны BC = 6 и KC = 3. Поэтому \(BK=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45}=3\sqrt5\).

Ответ: \(3\sqrt5\).