№ 11. В трапеции ABCD основания AD и BC параллельны, AB = CD = 5, AD = 10, ∠ABD = 90°. Найдите ∠A, ∠CBD, ∠C и ∠BDC.

В прямоугольном треугольнике ABD гипотенуза AD = 10, а катет AB = 5. Поэтому угол напротив AB равен 30°: ∠ADB = 30°, а ∠A = 60°.

1. Так как BC ∥ AD, накрест лежащие углы ∠CBD и ∠ADB равны: ∠CBD = 30°.
2. Из AB = CD = 5 и прямоугольного треугольника ABD получаем BD = 5√3. В треугольнике BCD сторона CD = 5 лежит напротив угла 30°, а BD = 5√3. По теореме синусов угол C может быть 60° или 120°. По рисунку угол C тупой, значит ∠C = 120°.
3. По сумме углов треугольника BCD: ∠BDC = 180° − 30° − 120° = 30°.

Ответ: ∠A = 60°, ∠CBD = 30°, ∠C = 120°, ∠BDC = 30°.