№ 9. В равнобедренной трапеции ABCD основания AD и BC параллельны, AB = CD = 7. BH ⟂ AD, AH = 3. Диагональ BD делит угол D пополам. Найдите AD.

Так как BH ⟂ AD и BC ∥ AD, треугольник BHD прямоугольный. Диагональ BD делит угол D трапеции пополам, поэтому ∠ADB = ∠BDC. Кроме того, ∠ADB = ∠CBD, поскольку AD ∥ BC. Следовательно, ∠CBD = ∠BDC, и в треугольнике BCD равны противоположные им стороны: BC = CD = 7.

В равнобедренной трапеции проекции боковых сторон на большее основание равны. Поэтому HD = AH = 3, а AD = AH + HD + BC = 3 + 7 + 3 = 13.

Ответ: AD = 13.