12. (1 балл) Емкость высоковольтного конденсатора в телевизоре C = 3·10⁻⁶ Ф. Параллельно с конденсатором подключен резистор с сопротивлением R = 5·10³ Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе U₀ = 9кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением t = αRC logₑₐ(U₀/U) (с), где α = 1,1 - постоянная. Определите наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее 33 секунд. Ответ дайте в кВ (киловольтах).

Дано:

• Емкость конденсатора: C = 3 · 10⁻⁶ Ф.
• Сопротивление резистора: R = 5 · 10³ Ом.
• Начальное напряжение: U₀ = 9 кВ.
• Время выключения: t ≥ 33 с.
• Постоянная: α = 1.1.
• Формула: t = αRC logₑₐ(U₀/U).

Найти: Наибольшее возможное напряжение U (в кВ).

Решение:

1. Сначала рассчитаем произведение RC, которое является постоянной времени разряда (τ):
2. RC = (5 · 10³ Ом) · (3 · 10⁻⁶ Ф) = 15 · 10⁻³ с = 0.015 с.
3. Теперь подставим известные значения в формулу для времени t:
4. t = α * RC * logₑₐ(U₀/U)
5. 33 с = 1.1 * 0.015 с * logₑₐ(9 кВ / U)
6. 33 = 0.0165 * logₑₐ(9 / U)
7. Разделим обе стороны на 0.0165:
8. logₑₐ(9 / U) = 33 / 0.0165
9. logₑₐ(9 / U) = 2000
10. Теперь преобразуем логарифмическое уравнение в показательное. По определению логарифма: если log_b(a) = c, то b^c = a.
11. 10²⁰⁰⁰ = 9 / U
12. Выразим U:
13. U = 9 / 10²⁰⁰⁰
14. U = 9 · 10⁻²⁰⁰⁰ кВ.
15. Это очень маленькое число, близкое к нулю. Однако, нас просят найти *наибольшее возможное* напряжение, если прошло *не менее* 33 секунд. Это означает, что время t может быть больше 33 секунд.
16. Рассмотрим функцию t(U) = 1.1 * 0.015 * logₑₐ(9/U). Эта функция убывающая, так как аргумент логарифма (9/U) убывает при росте U.
17. Для того чтобы t было *не менее* 33, значение logₑₐ(9/U) должно быть *не менее* 2000.
18. logₑₐ(9/U) ≥ 2000
19. 9/U ≥ 10²⁰⁰⁰
20. U ≤ 9 / 10²⁰⁰⁰
21. Значит, наибольшее возможное значение U, при котором время разряда будет составлять 33 секунды или больше, равно 9 / 10²⁰⁰⁰.
22. Следовательно, наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, при котором прошло не менее 33 секунд, будет стремиться к 0. Но так как начальное напряжение было 9 кВ, и напряжение только убывает, то наибольшее возможное значение, которое мы можем получить после 33 секунд, это 9 * 10^-2000 кВ.
23. Ответ нужно дать в кВ.

Ответ: 9·10⁻²⁰⁰⁰